Aufgabe 1
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Renate hat vor sich auf dem Tisch neun 1-Euro Münzen. Fünf Münzen stammen aus Österreich und zeigen auf der Rückseite den Komponisten Wolgang Amadeus Mozart.
Die restlichen Münzen sind aus Spanien. Deren Rückseite ziert der spanische König Juan Carlos. Die Vorderseite aller neun Münze ist identisch.
Renate legt die Münzen mit der Vorderseite nach oben vor sich hin.
Ihre Freundin darf nun drei der Münzen umdrehen. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass
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- Genau drei Mal Juan Carlos erscheint?
- Genau zwei Mal Juan Carlos erscheint?
- Mindestens ein Mal Juan Carlos erscheint?
- Renate verspricht Uschi, dass sie ihr ein Eis spendiert, wenn beim Umdrehen von vier Münzen mindestens drei Mal der Kopf des spanischen Königs erscheint.
Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass Uschi das Eis gewinnt?
Aufgabe 2
- Neun von zehn Ungeborenen bevorzugen im Mutterleib den rechten Daumen zum Lutschen. Forscher fanden heraus, dass alle Kinder, die rechts genuckelt haben,
im Alter von 10 bis 12 Jahren Rechtshänder waren. Zwei Drittel der Kinder, die im Mutterleib am linken Daumen gelutscht hatten, waren Linkshänder.
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- Wie viel Prozent der Kinder sind Linkshänder, wie viel Prozent Rechtshänder?
- Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat ein Rechtshänder vor der Geburt am linken Daumen genuckelt?
Aufgabe 3
- In Yellow Citiy sind 35 % aller Autos gelb. Jemand stellt sich an den Strassenrand irgendeiner Strasse und beobachtet 12 vorbeifahrende Autos.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit
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- Sind genau drei Autos gelb?
- Ist kein Auto gelb?
- Ist mindestens ein Auto gelb?
- Sind höchstens zwei Autos gelb?
Aufgabe 4
- Anna und Claudia werfen eine Münze mit den Seiten K und Z so lange, bis in der entstehenden Folge von K’s und Z’s entweder das Wort KKK oder das Wort ZZK auftritt.
Tritt zuerst KKK auf, hat Anna gewonnen, tritt zuerst ZZK auf, gewinnt Claudia. Wie gross sind die Gewinnchancen von Anna und Claudia?
Aufgabe 5
- In einem Betrieb sind 60 % Männer beschäftigt. Von den Betriebsangehörigen rauchen 10 %. Unter den weiblichen Betriebsangehörigen rauchen 15 %.
- Berechne den Anteil der weiblichen Raucher unter den Betriebsangehörigen.
- Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist eine beliebig aus dem Betrieb herausgegriffene Person
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- Weiblich, falls die Person raucht?
- Raucher, falls die Person ein Mann ist?
- Weiblich und Nichtraucherin?
Aufgabe 6
- Der Inhaber eines kleinen Reisebüros weiss aus langjähriger Erfahrung, dass 80 % seiner Kunden das Reiseziel Grönland bevorzugen.
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- Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind unter den nächsten 20 Buchungen genau 15 für Grönland?
- Wie viele Buchungen müssen mindestens erfolgen, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 99 % wenigstens eine nicht auf Grönland lautet?
Aufgabe 7
- Herr G. verlässt sich beim Weg auf die Arbeit darauf, dass sein Bus am Morgen an der Abfahrthaltestelle verspätet abfährt.
In 90 % aller Fälle kommt er so rechtzeitig zur Haltestelle. In 10 % der Fälle verpasst er seinen Bus, weil er keine Verspätung hat.
Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass Herr G. seinen Bus innerhalb von 5 Arbeitstagen
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- An keinem Tag verpasst?
- An genau drei Tagen verpasst?
- An drei aufeinanderfolgenden Tagen erwischt?
Aufgabe 8
- Eine Sportartikelfirma stellt Fussbälle her. 60 % der Bälle sind weiss, 5 % der Bälle haben einen Fehler. In der Endkontrolle werden zehn Bälle
rein zufällig ausgewählt und kontrolliert. Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind
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- Genau drei Bälle weiss?
- Nur die ersten drei Bälle weiss?
- Höchstens zwei Bälle fehlerhaft?
Aufgabe 9
- Auf einem Rubbel-Los sind 12 Felder. Von diesen dürfen genau 2 aufgerubbelt werden. Wenn beide aufgerubbelten Felder den gleichen Betrag zeigen,
dann erhält man diesen Betrag als Gewinn ausbezahlt, ansonsten geht man leer aus.
In jedem Los befinden sich – zufällig verteilt – folgende Felder: 5 x 5 Euro; 3 x 10 Euro; 2 x 20 Euro; 2 x 0 Euro.
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- Wie viele verschiedene Lose können hergestellt werden?
- Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit für einen Gewinn von 5 Euro?
- Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass man nichts gewinnt?
- Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass man beim Kauf von 5 solchen Losen mindestens 2 Mal gewinnt?
Aufgabe 10
- A und B haben je eine Drehscheibe mit drei Ziffern:
Spieler A hat die Ziffern 1, 4, und 5 mit den Wahrscheinlichkeiten von 2/6 bzw. 3/6 bzw. 1/6 bleibt die Drehscheibe auf den entsprechenden Ziffern stehen.
Spieler B hat die Ziffern 2, 3 und 6 auf seiner Drehscheibe mit den zughörigen Wahrscheinlichkeiten von 4/7, 1/7 und 2/7.
Gewinner ist derjenige, dessen Drehscheibe bei der höheren Ziffer stehen bleibt.
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- Ist das Spiel fair?
- Mit welcher Wahrscheinlichkeit gewinnt B genau 3 von 8 Spielen?
- Mit welcher Wahrscheinlichkeit gewinnt A mindestens 2 von 10 Spielen?
- Wie oft müssen die beiden spielen, damit B mit der Wahrscheinlichkeit von 99% mindestens einmal gewonnen hat?
Aufgabe 11
- Im Spielcasino Bern gibt es einarmige Banditen, die folgendermassen funktionieren:
Mit Hilfe eines Hebels bringt eine Spielerin drei identische, voneinander unabhängig rotierende Rollen in Bewegung.
Auf jeder Rolle befinden sich 9 verschiedene Symbole. Immer eines dieser Symbole bleibt beim Fenster stehen und so
ergibt sich jeweils ein Bild aus drei Symbolen, wenn die Rollen zum Stehen kommen.
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- Wie viele verschiedene Bilder gibt es beim Stillstand?
- In wie vielen Bildern kommt ein Symbol zweimal vor?
- Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Symbol dreimal vorkommt?
- Wie oft muss eine Spielerin spielen um mit 99% Wahrscheinlichkeit mindestens einmal dreimal dasselbe Symbol erhalten zu haben?
- Der Einsatz beträgt Fr. 1.-. Gewonnen wird, wenn entweder zweimal dasselbe Symbol erscheint oder wenn gar dreimal dasselbe Symbol erscheint.
Im ersten Fall erhält man den Einsatz zurück, im zweiten Fall den fünffachen Einsatz, wenn aber dreimal das Symbol „BAR“ erscheint, den zehnfachen Einsatz.
Mit welchem Verlust/Gewinn kannst du rechnen?
Aufgabe 12
- In einer Urne liegen 4 Kugeln, nummeriert von 1 bis 4. Es wird folgendes Spiel gespielt:
- Der Einsatz beträgt 4 Franken.
- Eine Kugel wird gezogen und nicht wieder zurückgelegt.
- Ist die Ziffer der Kugel ungerade, erhält man als Auszahlung den Betrag dieser Ziffer in Franken.
- Ist die Ziffer der Kugel aber gerade, darf eine zweite Kugel gezogen werden. Als Auszahlung erhält man nun den Betrag der Summe der beiden Ziffern.
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- Erstelle ein Baumdiagramm.
- Die Zufallsvariable X sei der ausbezahlte Betrag in Franken. Bestimme die Verteilung von X.
- Erfolg soll bedeuten, dass man mehr als den bezahlten Einsatz zurückbekommt. Zeige, dass die Erfolgswahrscheinlichkeit 5/12 beträgt.
- Du willst so oft spielen, bis du zum ersten Mal Erfolg hast. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass du mehr als 5 Spiele spielst?
- Nun spielst du das Spiel zweimal. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass du weder etwas verlierst noch etwas gewinnst?
- Das Spiel wird 8 mal gespielt. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit mindestens 6 mal Erfolg zu haben?
Etwas spezieller Probleme
Zwei jahrhundertelang ungelöst gebliebene Probleme:
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- Was ist wahrscheinlicher: bei vier Würfen mit einem Würfel mindestens eine „6“ zu werfen,
oder bei 24 Würfen mit zwei Würfeln mindestens eine „Doppelsechs“ zu werfen?
- Eine Münze wird wiederholt geworfen. Für „Kopf“ erhält Spieler A einen Punkt, für „Zahl“ erhält Spieler B einen Punkt. Wer zuerst fünf Punkte erzielt, gewinnt den ganzen Einsatz.
Nach sieben Würfen hat A 4 Punkte, B drei Punkte erzielt. Das Spiel muss wegen eines unvorhergesehenen Ereignis abgebrochen werden. Wie ist der Einsatz zu verteilen?