• Aufgabe 1

• Es ist die Funktion f(x) = 4 - kx² mit k > 0 gegeben. Wie ist der Parameter k zu wählen, damit die Fläche, die der Graph von f mit der x-Achse einschliesst, 8 ist?



• Aufgabe 2

• Der Graph der Funktion f(x) = (a² +3)x – ax³ (a > 0) schliesst mit der positiven x-Achse ein endliches Flächenstück ein.
  Für welchen Wert von a ist dieses Flächenstück extremal? Um welche Art von Extremum handelt es sich?



• Aufgabe 3

• Eine Funktionenschar ist gegeben durch: f_k(x) = (k – x)e^x (k ∈ ℝ⁺).
• 1. Berechne die Extremalstellen und die Wendepunkte.
  2. Auf welcher Kurve liegen die Wendepunkte?
  3. Zeichne die Bilder der Funktionen für k = 1 und k = 2 mit der Längeneinheit 2 H in dasselbe Koordinatensystem. Berechne dazu die Nullstellen, y-Achsenabschnitt und Extremalstellen.
  4. Die Gerade x = a (a < 0) schneidet die beiden Bilder in den Punkten P und Q. Für welchen Wert von a ist der Flächeninhalt des Dreiecks OPQ (O Ursprung des Koordinatensystems) extremal?



• Aufgabe 4

• Gegeben ist die Funktion: $f(x)\; =\frac{\mathrm{2x}}{\mathrm{t²}}$ - $\frac{\mathrm{x²}}{\mathrm{t³}}$ , t ∈ ℝ
• Beweise, dass die Fläche, die der Graph von f mit der x-Achse einschliesst, für alle Werte von t gleich gross ist.



• Aufgabe 5

• Gegeben ist die Funktion f(x) = 6x - x².
  Der Graph der Funktion begrenzt mit der x-Achse eine Fläche A.
  Ein zur y-Achse paralleler Streifen der Breite 1 soll so gelegt werden, dass er aus der Fläche A ein Flächenstück herausschneidet, dessen Flächeninhalt genau ein Sechstel der Fläche A ist.
  Wo liegen der linke und der rechte Rand des Streifens?



• Aufgabe 6

• Der Graph einer auf ℝ definierten, integrierbaren Funktion f sei punktsymmetrisch zum Ursprung.
• 1. Begründe allgemein, dass dann für alle a > 0 gilt: ${\int }_{\mathrm{-a}}^{\mathrm{a}}$ f(x) dx = 0
  2. Wähle selbst eine Funktion f, deren Graph puntsymmetrisch zum Ursprung ist, und bestätige diese Aussage, indem du das Integral für die gewählte Funktion f mithilfe einer Stammfunktion berechnest.



• Aufgabe 7

• Gegeben sei die Funktion f(x) = 5 $\frac{\mathrm{e^{x\; -\; 1}}}{\mathrm{1\; +\; e^{x\; -\; 1}}}$
• 1. Bestimme den Grenzwert x → - ∞.
  2. Warum gilt 0 < $\frac{\mathrm{e^{x\; -\; 1}}}{\mathrm{1\; +\; e^{x\; -\; 1}}}$ < 1? Welche Wertemenge besitzt also die Funktion f(x)?
  3. Für x = 1 besitzt der Graph der Funktion f(x) seinen einzigen Wendepunkt.
     Bestimme die Gleichung der Wendetangente
  4. Berechne die Funktionswerte f(-2), f(0), f(2) und f(3) und skizziere den Funktionsgraphen mithilfe aller bisher ermittelten Ergebnisse.
  5. Berechne den Inhalt der Fläche, die von den Koordinatenachsen, dem Funktionsgraphen und der Geraden x = - 2 eingeschlossen wird. (Hinweis: F(x) = 5*ln(e^x + e))



• Aufgabe 8

• Gegeben ist die Kurve für y = 4 - 2√x für x ≥ 0.
• 1. Die Kurve schliesst mit den Koordinatenachsen im ersten Quadranten ein Flächenstück ein. Dieses Flächenstück rotiere um die x-Achse. Welches Volumen hat der entstehende Rotationskörper?
  2. Diesem Rotationskörper wird ein gerader Kreiskegel einbeschrieben, dessen Spitze im Koordinatenursprung liegt und der das grösstmögliche Volumen hat. Wie ist die Höhe h des Kegels zu wählen? Wie gross wird sein Volumen?



• Aufgabe 9

• Ein Champagnerglas hat im Querschnitt die Form einer Parabel 2. Ordnung. Das Glas hat zuoberst einen Durchmesser von 5 cm und eine Glastiefe von 15 cm.

• 1. Bestimme die Funktionsgleichung für die Querschnittsparabel.
  2. Denke dir nun das Glas liegend: Welche Funktion beschreibt die obere Hälfte der gekippten Querschnittsparabel?
  3. Der Wirt will pro Glas 1 dl Champagner ausschenken. Bis auf welche Höhe muss er das Glas jeweils füllen?
  4. Um den Champagner zu kühlen wird in das Glas ein möglichst grosser Eis-Zylinder eingelegt, der oben nicht über den Rand herausschauen soll. Berechne seine Höhe und sein Volumen.




• Aufgabe 10

• Gegeben sei folgende Parabelschar: f_k(x) = $\frac{1}{\mathrm{k}}$ (3k²x² + x).
• 1. Wie muss k gewählt werden, damit der Inhalt der Fläche zwischen der Parabel, x-Achse und der Geraden x = 2 extremal wird? Handelt es sich um ein Maximum oder Minimum?
  2. Betrachte die beiden Graphen für k = 1 bzw. k = 0.5. Wie gross ist der Inhalt des im dritten Quadranten liegenden Flächenstückes, welches von beiden Graphen und der x-Achse eingeschlossen wird?