Es ist die Funktion f(x) = 4 - kx2 mit k > 0 gegeben. Wie ist der Parameter k zu wählen, damit die
Fläche, die der Graph von f mit der x-Achse einschliesst, 8 ist?
Aufgabe 2
Der Graph der Funktion f(x) = (a2 +3)x – ax3 (a > 0) schliesst mit der positiven
x-Achse ein endliches Flächenstück ein.
Für welchen Wert von a ist dieses Flächenstück extremal? Um welche Art von Extremum handelt es sich?
Aufgabe 3
Eine Funktionenschar ist gegeben durch: fk(x) = (k – x)ex (k ∈ ℝ+).
Berechne die Extremalstellen und die Wendepunkte.
Auf welcher Kurve liegen die Wendepunkte?
Zeichne die Bilder der Funktionen für k = 1 und k = 2 mit der Längeneinheit 2 H in dasselbe Koordinatensystem.
Berechne dazu die Nullstellen, y-Achsenabschnitt und Extremalstellen.
Die Gerade x = a (a < 0) schneidet die beiden Bilder in den Punkten P und Q.
Für welchen Wert von a ist der Flächeninhalt des Dreiecks OPQ (O Ursprung des Koordinatensystems)
extremal?
Aufgabe 4
Gegeben ist die Funktion:
-
, t ∈ ℝ
Beweise, dass die Fläche, die der Graph von f mit der x-Achse einschliesst,
für alle Werte von t gleich gross ist.
Aufgabe 5
Gegeben ist die Funktion f(x) = 6x - x2.
Der Graph der Funktion begrenzt mit der x-Achse eine Fläche A.
Ein zur y-Achse paralleler Streifen der Breite 1 soll so gelegt werden, dass er aus der
Fläche A ein Flächenstück herausschneidet, dessen Flächeninhalt genau ein Sechstel der Fläche A ist.
Wo liegen der linke und der rechte Rand des Streifens?
Aufgabe 6
Der Graph einer auf ℝ definierten, integrierbaren Funktion f sei punktsymmetrisch zum Ursprung.
Begründe allgemein, dass dann für alle a > 0 gilt:
f(x) dx = 0
Wähle selbst eine Funktion f, deren Graph puntsymmetrisch zum Ursprung ist, und bestätige diese Aussage, indem du das Integral für die gewählte
Funktion f mithilfe einer Stammfunktion berechnest.
Aufgabe 7
Gegeben sei die Funktion f(x) = 5
Bestimme den Grenzwert x → - ∞.
Warum gilt 0 <
< 1?
Welche Wertemenge besitzt also die Funktion f(x)?
Für x = 1 besitzt der Graph der Funktion f(x) seinen einzigen Wendepunkt.
Bestimme die Gleichung der Wendetangente
Berechne die Funktionswerte f(-2), f(0), f(2) und f(3) und skizziere den Funktionsgraphen mithilfe aller bisher ermittelten Ergebnisse.
Berechne den Inhalt der Fläche, die von den Koordinatenachsen, dem Funktionsgraphen und der
Geraden x = - 2 eingeschlossen wird. (Hinweis: F(x) = 5*ln(ex + e))
Aufgabe 8
Gegeben ist die Kurve für y = 4 - 2√x für x ≥ 0.
Die Kurve schliesst mit den Koordinatenachsen im ersten Quadranten ein Flächenstück ein. Dieses Flächenstück rotiere um die x-Achse. Welches Volumen hat der entstehende Rotationskörper?
Diesem Rotationskörper wird ein gerader Kreiskegel einbeschrieben, dessen Spitze im Koordinatenursprung liegt und der das grösstmögliche Volumen hat. Wie ist die Höhe h des Kegels zu wählen? Wie gross wird sein Volumen?
Aufgabe 9
Ein Champagnerglas hat im Querschnitt die Form einer Parabel 2. Ordnung. Das Glas hat zuoberst einen Durchmesser von 5 cm und eine Glastiefe von 15 cm.
Bestimme die Funktionsgleichung für die Querschnittsparabel.
Denke dir nun das Glas liegend: Welche Funktion beschreibt die obere Hälfte der gekippten Querschnittsparabel?
Der Wirt will pro Glas 1 dl Champagner ausschenken. Bis auf welche Höhe muss er das Glas jeweils füllen?
Um den Champagner zu kühlen wird in das Glas ein möglichst grosser Eis-Zylinder eingelegt, der oben nicht über den Rand herausschauen soll. Berechne seine Höhe und sein Volumen.
Aufgabe 10
Gegeben sei folgende Parabelschar: fk(x) =
(3k2x2 + x).
Wie muss k gewählt werden, damit der Inhalt der Fläche zwischen der Parabel, x-Achse und der Geraden x = 2 extremal wird? Handelt es sich um ein Maximum oder Minimum?
Betrachte die beiden Graphen für k = 1 bzw. k = 0.5. Wie gross ist der Inhalt des im dritten Quadranten liegenden Flächenstückes, welches von beiden Graphen und der x-Achse eingeschlossen wird?