Einstiegsaufgabe
- Arbeitsauftrag:
-
- Zeichne den Grafen der Funktion f(x) = x für x ≥ 0.
- Stelle Dir vor, die Fläche, die von f(x) = x, von der x – Achse und von x1 = 0 und
x2 = 6 begrenzt wird, drehe sich um die x – Achse.
Was entsteht dabei?
- Versuche diesen „Rotationskörper“ detailliert zu beschreiben.
- Erinnere Dich, wie wir mit Hilfe des Integrals Flächeninhalte berechnet haben.
Wie können wir dann mit Hilfe des Integrals das Volumen des oben beschriebenen Körpers berechnen?
Aufgabe 1
- Berechne das Volumen eines Hohlzylinders, dessen Höhe 7 cm,
dessen äusserer Radius 5 cm und dessen innerer Durchmesser 4 cm beträgt.
Aufgabe 2
- Die Kurven y1 = 1 + sinx und y2 = 1 + cosx begrenzen kongruente Flächenstücke.
Eines davon rotiert um die x - Achse. Welches Volumen hat der entstehende Körper?
Aufgabe 3
- Das Volumen des Rotationskörpers, den man erhält, wenn man das Kurvenstück mit der Gleichung
y = e- x und 0 ≤ x ≤ a um die x - Achse rotiert, beträgt π/4. Berechne a.
Aufgabe 4
- Bestimme die Gleichung für das Volumen einer Kugel.
Aufgabe 5
- Die Parabel mit der Gleichung y = ax2 + bx + c schneidet die x - Achse in den Punkten
A(1|0) und B(4|0). AB ist die Seite eines Quadrates, das im 1. Quadranten liegt.
Wie sind die Koeffizienten der Parabelgleichung zu wählen, damit der Parabelbogen AB die Quadratfläche halbiert?
Aufgabe 6
- Wie gross muss a > 0 sein, damit der Inhalt der Fläche zwischen der x - Achse und der Kurve
mit der Gleichung y = - ax3 + (a + 1)x (x ≥ 0) minimal wird?
Aufgabe 7
- y = (x2 + t) / tx (1 ≤ x ≤ 2) rotiere um die x - Achse. Bestimme den Wert des Parameters t so, dass das Volumen
des Rotationskörpers extremal wird. Ermittle auch die Art des Extremums.