• Bedingte Wahrscheinlichkeit

  • Einstiegsaufgabe

  • Bei Infektionskrankheiten ist es wichtig, dass man schnell die Art der Krankheit erkennt, damit man sie bekämpfen kann. Hierzu führt man Schnelltests durch, die allerdings Mängel haben: Manchmal wird eine Krankheit angezeigt, obwohl sie nicht vorliegt; gelegentlich wird eine Krankheit nicht angezeigt, obwohl sie vorhanden ist. Bei der HIV-Diagnostik sind die Empfindlichkeit (Sensitivität) des Tests, vor allem aber die Zuverlässigkeit (Spezifität) von besonderer Bedeutung. Gehen wir davon aus, dass 0.1% der Bevölkerung HIV-infiziert ist. Die vorliegenden Testverfahren zum Nachweis der Infektion haben mittlerweile eine hohe Sicherheit (Sensitivität): bei 99.9% der tatsächlich Infizierten erfolgt positive Testreaktion; nur bei 0.3 % der nicht-infizierten Testpersonen wird irrtümlich eine Infektion angezeigt (Spezifität 99.7 %).
    1. Angenommen eine Person werde zufällig ausgewählt: Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei Vorliegen eines positiven Testergebnisses tatsächlich eine HIV-Infektion vorliegt? Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei negativem Testergebnis dennoch eine Infektion vorliegt?
    2. Die Qualität der HIV-Tests ist in den letzten Jahren ständig verbessert worden. Noch 1990 ging man von 99.8 % positiver Testreaktionen bei Infizierten und 1 % bei Nicht-Infizierten aus. Vergleiche die bedingten Wahrscheinlichkeiten.
    3. Wenn ein HIV-Test positiv verlaufen ist, wird er bei der betreffenden Person noch einmal durchgeführt. Was lässt sich sagen, wenn auch dieser Test eine positive Reaktion zeigt?


  • Aufgabe 1

  • Eine Hobbygärtnerin steckt 100 Tulpenzwiebeln unter denselben Verhältnissen fachgerecht in den Boden. Einige der Zwiebeln stammen aus Holland, einige aus dem Gartencenter, aus einigen der Zwiebeln werden Tulpen, aus einigen nicht.
  • Bezeichne A das Ereignis „aus einer Zwiebel entsteht eine Tulpe“ und E das Ereignis „die Zwiebel kommt aus Holland“.
    1. Zeige: P(A) = P(A∩E) + P(A∩Ē).
    2. Interpretiere und berechne P(Ē |A), P(E|A), P(Ā |E), P(A|Ē ), P(Ē |Ā ).

  • Aufgabe 2

  • Ein Würfel wird geworfen. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass die oben liegende Zahl eine Primzahl ist, wenn bekannt ist, dass sie ungerade ist?

  • Aufgabe 3

  • Zwei Würfel werden geworfen. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Augensumme grösser als 9 ist, wenn man weiss, dass eine 5 auf
    1. dem ersten
    2. mindestens einem Würfel ist?

  • Aufgabe 4

  • Man rechnet bei der Lieferung eines bestimmten Massenartikels mit 5% Ausschuss. Nun wird folgende Stichprobe angeordnet: 5 Artikel zufällig auswählen, Lieferung ablehnen, wenn unter diesen 5 Artikeln eines oder mehrere Ausschussstücke sind. Die Lieferung umfasst 100 Stück.)
    1. Nehmen wir an, die Lieferung sei in Ordnung, unter den 100 Stück also 5 Ausschussstücke. Wie gross ist die W’keit, dass die Lieferung trotzdem abgelehnt wird?
    2. Es kann also vorkommen, dass man die Lieferung ablehnt, obwohl sie den Lieferbedingungen entspricht. Mit diesem Fehler muss man bei jeder Kontrolle rechnen, die mit Stichproben durchgeführt wird. Man nennt ihn Fehler 1. Art.
      Es gibt auch einen Fehler 2. Art: Die Sendung könnte z.B. 20% Ausschuss enthalten und die Stichprobe trotzdem kein schlechtes Stück aufweisen. Dann würde man die Lieferung annehmen, obwohl sie nicht in Ordnung ist. Wie gross wäre in diesem Falle die W’keit, den Fehler 2. Art zu begehen?

  • Aufgabe 5

  • In einem Fabrikationsbetrieb weiss man aufgrund von Beobachtungen während längerer Zeit, dass rund 95 % der hergestellten Apparate wirklich einwandfrei sind. Alle hergestellten Apparate werden jeweils sofort geprüft. Das Prüfverfahren erklärt 97 % der wirklich einwandfreien Apparate als „in Ordnung“; aber auch 3 % der nicht einwandfreien Apparate passieren die Kontrolle und werden als in Ordnung bezeichnet.
    1. Berechne die W’keit, dass ein Apparat wirklich einwandfrei ist und auch als „in Ordnung“ bezeichnet wird?
    2. Berechne die W’keit, dass ein zufällig aus der Produktion herausgegriffener Apparat als „in Ordnung“ bezeichnet wird.
    3. Berechne die W’keit, dass ein Apparat, der die Kontrolle passiert und somit als „in Ordnung“ bezeichnet wird, auch wirklich einwandfrei ist.


Lösungen