Funktionenscharen
Definition
- Enthält ein Funktionsterm ausser der Funktionsvariablen x noch eine weitere
Variable a (Parameter), so gehört zu jedem möglichen Wert von a eine Funktion fa(x).
Die Menge dieser Funktionen nennt man Funktionenschar, die Menge der Graphen eine Kurvenschar.
Aufgabe 1
- Eine Funktionenschar ist gegeben durch: ft(x) = x3 - 3t2x (t ∈ R+0).
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- Bestimme die Koordinaten des Schnittpunktes des Graphen von ft mit der positiven x -Achse sowie die Extremalstellen des Graphen von ft.
- Für welche Werte von t geht der Graph von ft durch A(3|0)?
- Für welche Werte von t ist die 2. Winkelhalbierende Tangente im Ursprung?
- Für welche Werte von t liegen die Extrempunkte auf der 2. Winkelhalbierenden?
- Für welche Werte von t ist die Tangente im Schnittpunkte mit der positiven x - Achse parallel zur 1. Winkelhalbierenden?
Aufgabe 2
- Eine Funktionenschar ist gegeben durch ft(x) = tx² – x³, t ∈ R+.
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- Bestimme t so, dass A(5|-75) auf dem Graphen von ft liegt.
- Bestimme die Hoch-, Tief- und Wendepunkte von ft.
- Für welche Werte von t besitzt ft einen Wendepunkt an der Stelle x = 2?
- Für welche Werte von t besitzt ft einen Hochpunkt an der Stelle x = 8?
- Für welche Werte von t hat die Wendetangente die Steigung 1?
Aufgabe 3
- Sei fa(x) = ax³ + x² - x/a , a ∈ R \ {0}.
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- Für welche Werte von a besitzt der Graph einen Tiefpunkt an der Stelle x = 2/3?
- Für welche Werte von a besitzt der Graph einen Wendepunkt an der Stelle x = -3?
- Für welche Werte von a geht der Graph von fa durch B(4/62,2)?
- Zeichne den Graphen für a = 1/3.
- Zeige, dass jede zugehörige Parabel genau drei Schnittpunkte mit der x – Achse hat.
- Zeige, dass jede Parabel genau einen Hoch- und einen Tiefpunkt hat. Bestimme diese Punkte.
Aufgabe 4
- Für jede Zahl t ∈ R ist durch ft(x) = x³ + t/2 x² + (t – 1)x eine Funktion ft und ein Schaubild Kt gegeben.
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- Es gibt zwei Punkte, die auf allen Kurven Kt liegen. Gib ihre Koordinaten an.
- Zeige: Es gibt eine Stelle x0, für welche die Tangenten aller Kurven Kt parallel sind. Gib x0 und die Steigung der Tangenten an.
- Für welche t – Werte schneidet Kt die 2. Winkelhalbierende dreimal?