Extremwertaufgaben
Einstiegsaufgabe
- Von einem quadratischen Stück Karton mit der Seite a cm werden an den Ecken Quadrate mit der Seitenlänge x cm abgeschnitten. Wie ist x zu wählen, damit der Rest eine Schachtel mit möglichst grossem Volumen ergibt?
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- Erstelle eine Funktion V(x) für das Volumen der Schachtel.
- Zeichne die gefundene Funktion V(x), indem du die Nullstellen und die Extremalstellen berechnest.
- Überlege, welche Werte x annehmen kann (Definitionsbereich der möglichen Lösungen).
- Bestimme nun das Volumen der Schachtel so, dass es entweder maximal oder minimal wird.
Aufgabe 1 mit Variationen
Variante 1
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Auf einem Bauernhof möchte der Bauer eine rechteckige Koppel für seine Pferde anlegen. Die Koppel liegt an einem Fluss und soll deshalb nur an drei Seiten eingezäunt werden.
Der zur Verfügung stehende Zaun ist Z m lang.
Wie muss der Bauer die Koppel anlegen, damit sie eine möglichst große Weidefläche hat!
Wie groß ist die Weidefläche dieser Koppel?
Variante 2
- Ein Bauer möchte innerhalb seiner rechteckigen Pferdekoppel ein rechteckiges Freigehege für seine Hühner abtrennen. Das Freigehege soll in einer der Koppelecken angelegt werden, so dass das Freigehege nur an zwei Seiten eingezäunt werden muss.
Der zur Verfügung stehende Zaun ist Z m lang.
Wie muss der Bauer das Freigehege anlegen, damit die Hühner eine möglichst große Auslauffläche haben!
Wie groß ist die Auslauffläche dieses Freigeheges?
Variante 3
- Auf einem Bauernhof möchte der Bauer ein "rechteckiges" Gehege für seine Hühner anlegen.
Der Stall soll eine Ecke des Geheges bilden und ein Teil der Begrenzung sein.
Der zur Verfügung stehende Zaun Z ist 17 m lang.
Der Stall ist U = 3 m lang und V = 7 m breit.
Wie muss der Bauer das Gehege anlegen, damit es einen möglichst großen Flächeninhalt hat?
Wie groß ist der Flächeninhalt dieses Geheges?
Aufgabe 2 Verpackungsprobleme
- Verpackungen spielen eine grosse Rolle. Sie sollen uns ansprechen, uns dafür gewinnen, ein bestimmtes Produkt zu kaufen.
Umgekehrt stellen Verpackungen ein nicht zu unterschätzendes Umweltproblem dar.
Hunderte von Millionen Tonnen von Verpackungsmüll werden jährlich produziert.
Aus diesem und natürlich auch aus Kostengründen wird versucht, Verpackungen möglichst ökonomisch, d.h. mit möglichst geringem Materialaufwand herzustellen.
Das Dosenproblem
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Eine EU-Norm für Dosen soll erarbeitet werden:
Bei der Produktion soll natürlich möglichst wenig Material verbraucht werden.
Welche Maße muss die EU-Norm vorschreiben?
(Überlappungen zur Herstellung sollen nicht berücksichtigt werden.)
Das Milchpackproblem
- Eine EU-Norm für Getränkepacks mit quadratischer Grundfläche soll erarbeitet werden:
Bei der Produktion soll natürlich möglichst wenig Material verbraucht werden.
Welche Maße muss die EU-Norm vorschreiben?
(Klebeflächen sollen nicht berücksichtigt werden.)
Die Popkorntüte
- Aus einem kreisrunden Papierstück mit dem Radius R soll eine kegelförmige Popkorntüte hergestellt werden.
Wie muss das Papier zugeschnitten und zusammengeklebt werden, wenn in die fertige Tüte möglichst viel Popkorn gefüllt werden soll?
Standardaufgaben
Aufgabe 3
- Einem Quadrat mit der Seite a = 5 cm ist ein Quadrat kleinsten Inhalts einzubeschreiben, dessen Ecken auf den Seiten des gegebenen Quadrates liegen.
Aufgabe 4
- Dem Abschnitt der Parabel mit der Gleichung y = 6 - 1/4x2 , welcher oberhalb der x-Achse liegt, ist ein Rechteck a) grössten Umfangs b) grössten Inhalts einzubeschreiben.
Aufgabe 5
- Gegeben ist die Gerade mit der Gleichung y = ax - a2 mit 0 < a < 6.
- Für welches a schneidet diese Gerade von der Geraden x = 6 das grösste über der x -Achse liegende Stück ab?
- Die Gerade begrenzt mit der x-Achse und der Geraden x = 6 ein Dreieck. Für welches a hat dieses Dreieck den grössten Inhalt?
Aufgabe 6
- Der Marktpreis für ein Buch, von dem x Exemplare hergestellt werden sollen, wird durch p(x) =20 - x/5000 angegeben. Die Kosten des Verlegers betragen K(x) = 4000 + 6x + 0.00084x2.
Dem Autor wurde eine Umsatzbeteiligung von 20 % zugesprochen.
Welche Preis-Mengen-Lösung bevorzugt der Verleger (Gewinnmaximierung), welche der Autor (Umsatzmaximierung)?
Aufgabe 7
- Der Abstand s zweier Autos (gemessen zwischen den vorderen Stossstangen), die mit der gleichen Geschwindigkeit v hintereinander fahren, setzt sich additiv zusammen aus einem von v unabhängigen Mindestabstand d, einem Sicherheitsabstand s1 = bv für den Reaktionsweg und einem Sicherheitsabstand s2 = v2 / 2a für den Bremsweg (a Bremsverzögerung).
Es seien a = 5 m/s2 (trockene Fahrbahn), Reaktionszeit b = 1 s und d = 10 m.
- Welche Zeit vergeht, bis die beiden Autos die gleiche Stelle passiert haben?
- Für welche Geschwindigkeit wird die Zeit minimal?
- Wie viele Autos passieren dabei pro Stunde eine bestimmte Stelle?
- Wie ändern sich die Ergebnisse, wenn die Sicherheitsabstände s1 und s2 nur zur Hälfte eingehalten werden?
Aufgabe 8
- Die Tragfähigkeit T eines rechteckigen Balkens der Breite x und der Höhe y lässt sich mit T = λxy2 (λ eine Materialkonstante) berechnen.
Aus einem zylindrischen Holzstamm mit Durchmesser d soll ein derartiger Balken geschnitzt werden. Wie müssen x und y gewählt werden, damit die Tragfähigkeit maximal wird? Welches Verhältnis haben sie?
Achte auf den Definitionsbereich!
Aufgabe 9 Die zerbrochene Glasplatte
- Aus einer Glasplatte ist das inhaltsgrösste Rechteck auszuschneiden:
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- Wähle a = 5 LE, b = 3 LE, q = 1 LE und untersuche die Fälle p1 = 2 LE und p2 = 1 LE.
- Wähle a, b und q fest und untersuche das Problem in Abhängigkeit von p.
Aufgabe 10
- Welche Punkte P auf der Ellipse (x/2)2 + y2 = 1 besitzen vom Punkt Q(9/5|0) die kleinste Distanz?